← Tilbake til statistikk

✏️ Øvingsoppgaver

PB2030
Praktiske oppgaver med løsningsforslag

Oppgave 1: Grunnleggende sannsynlighet

Lett
Problemstilling:
En terning kastes én gang. Hva er sannsynligheten for å få et partall?

💡 Løsning:

Steg 1: Identifiser utfallsrommet
Utfallsrom S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Totalt 6 mulige utfall
Steg 2: Identifiser gunstige utfall
Partall: {2, 4, 6}
Totalt 3 gunstige utfall
Steg 3: Beregn sannsynlighet
P(partall) = 3/6 = 1/2 = 0.5 eller 50%

Oppgave 2: Gjennomsnitt og standardavvik

Lett
Problemstilling:
En student fikk følgende poeng på fem prøver: 78, 82, 75, 88, 92.
Beregn gjennomsnitt og standardavvik.
💡 Tips: Husk at du bruker n-1 i nevneren for utvalgsvariance når det er en prøve av data.

💡 Løsning:

Steg 1: Beregn gjennomsnitt
x̄ = (78 + 82 + 75 + 88 + 92) / 5
x̄ = 415 / 5 = 83
Steg 2: Beregn avvik fra gjennomsnitt
(78-83)² = 25
(82-83)² = 1
(75-83)² = 64
(88-83)² = 25
(92-83)² = 81
Steg 3: Beregn varians
s² = (25 + 1 + 64 + 25 + 81) / (5-1)
s² = 196 / 4 = 49
Steg 4: Beregn standardavvik
s = √49 = 7
Resultat: Gjennomsnitt = 83, Standardavvik = 7

Oppgave 3: Normalfordeling og Z-score

Medium
Problemstilling:
Høyden på mannlige studenter er normalfordelt med μ = 178 cm og σ = 6 cm.
a) Hva er Z-verdien for en student som er 190 cm?
b) Omtrent hvor stor del av studentene er høyere enn 190 cm?
Formel: Z = (X - μ) / σ

💡 Løsning del a):

Steg 1: Bruk Z-formelen
Z = (X - μ) / σ
Steg 2: Sett inn verdier
Z = (190 - 178) / 6 = 12 / 6 = 2
Resultat: Z = 2.0

💡 Løsning del b):

Steg 1: Fra normalfordelingstabellen
Φ(2.0) = 0.9772
Steg 2: Beregn andel høyere enn 190 cm
P(X > 190) = 1 - Φ(2.0) = 1 - 0.9772 = 0.0228
Resultat: Omtrent 2.28% av studentene er høyere enn 190 cm

Oppgave 4: Hypotesetesting - T-test

Medium
Problemstilling:
En produsent hevder at gjennomsnittsvekten på en pakke er 500g. Du tester 30 pakker og finner gjennomsnitt x̄ = 495g med s = 8g.
Tester H₀: μ = 500 mot H₁: μ ≠ 500 på 5% signifikansnivå.
Gjør testen og konkluder.
Formel: t = (x̄ - μ₀) / (s/√n)
Frihetsgrader: df = n - 1

💡 Løsning:

Steg 1: Formuler hypoteser
H₀: μ = 500g
H₁: μ ≠ 500g (tosidig test)
α = 0.05
Steg 2: Beregn standardfeil
SE = s / √n = 8 / √30 = 8 / 5.477 ≈ 1.461
Steg 3: Beregn t-statistikk
t = (495 - 500) / 1.461 = -5 / 1.461 ≈ -3.42
Steg 4: Finn kritisk t-verdi
df = 30 - 1 = 29
t_kritisk (tosidig, α = 0.05) ≈ ±2.045
Steg 5: Sammenlign og konkluder
|t| = |-3.42| = 3.42 > 2.045
Forkast H₀: Gjennomsnittsvekten er signifikant forskjellig fra 500g

Oppgave 5: Lineær regresjon

Medium
Problemstilling:
En butikk samler data om annonseringskostnader (X i tusen kr) og salg (Y i tusen kr):
Annonsering (X)Salg (Y)
214
318
526
630
Finn regresjonsmodellen Ŷ = a + bX

💡 Løsning:

Steg 1: Beregn gjennomsnitt
x̄ = (2 + 3 + 5 + 6) / 4 = 4
ȳ = (14 + 18 + 26 + 30) / 4 = 22
Steg 2: Beregn Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)
(2-4)(14-22) = (-2)(-8) = 16
(3-4)(18-22) = (-1)(-4) = 4
(5-4)(26-22) = (1)(4) = 4
(6-4)(30-22) = (2)(8) = 16
Σ = 16 + 4 + 4 + 16 = 40
Steg 3: Beregn Σ(xi - x̄)²
(2-4)² = 4
(3-4)² = 1
(5-4)² = 1
(6-4)² = 4
Σ = 4 + 1 + 1 + 4 = 10
Steg 4: Beregn stigningstall
b = Σ(xi - x̄)(yi - ȳ) / Σ(xi - x̄)² = 40 / 10 = 4
Steg 5: Beregn intercept
a = ȳ - b·x̄ = 22 - 4·4 = 22 - 16 = 6
Resultat: Ŷ = 6 + 4X

Oppgave 6: Betinget sannsynlighet og Bayes' teorem

Vanskelig
Problemstilling:
En bedrift produserer komponenter. 5% av komponentene er defekte. En test korrekt identifiserer defekte komponenter 98% av tiden, men gir falsk alarm på 2% av de gode komponentene.
Hvis testen sier at en komponent er defekt, hva er sannsynligheten for at den faktisk er defekt?
Bayes' teorem: P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / [P(B|A)×P(A) + P(B|A')×P(A')]

💡 Løsning:

Steg 1: Definer hendelser
D = komponenten er defekt
T = testen sier defekt
Steg 2: Samle inn gitte sannsynligheter
P(D) = 0.05 (5% defekte)
P(D') = 0.95 (95% gode)
P(T|D) = 0.98 (test oppdager defekte 98%)
P(T|D') = 0.02 (falsk alarm 2%)
Steg 3: Beregn P(T) - total sannsynlighet
P(T) = P(T|D)×P(D) + P(T|D')×P(D')
P(T) = 0.98×0.05 + 0.02×0.95
P(T) = 0.049 + 0.019 = 0.068
Steg 4: Bruk Bayes' teorem
P(D|T) = [P(T|D)×P(D)] / P(T)
P(D|T) = (0.98 × 0.05) / 0.068
P(D|T) = 0.049 / 0.068 ≈ 0.721
Resultat: Omtrent 72.1% sannsynlighet for at komponenten faktisk er defekt når testen sier det

Oppgave 7: Konfidensintervall

Vanskelig
Problemstilling:
Et utvalg på 50 elever har gjennomsnittlig eksamensresultat x̄ = 72 med standardavvik s = 8.
Konstruer et 95% konfidensintervall for populasjonsgjennomsnittet.
Konfidensintervall: x̄ ± t_(α/2) × (s/√n)
Frihetsgrader: df = n - 1

💡 Løsning:

Steg 1: Beregn standardfeil
SE = s / √n = 8 / √50 = 8 / 7.071 ≈ 1.131
Steg 2: Finn kritisk t-verdi
df = 50 - 1 = 49
For 95% konfidens og df = 49: t_(0.025) ≈ 2.010
Steg 3: Beregn feilmargin
E = t × SE = 2.010 × 1.131 ≈ 2.273
Steg 4: Konstruer intervallet
KI = x̄ ± E = 72 ± 2.273
Nedre grense: 72 - 2.273 = 69.727
Øvre grense: 72 + 2.273 = 74.273
Resultat: 95% KI: [69.7, 74.3]
Vi er 95% sikre på at populasjonsgjennomsnittet ligger mellom 69.7 og 74.3

💡 Tips og Råd for Statistikk-oppgaver

🎯 Tip 1 - Les oppgaven nøye: Sørg for at du forstår hva som blir spurt. Er det en ensidig eller tosidig test? Hva er signifikansnivået?
🔢 Tip 2 - Organisere beregninger: Skriv ned formler først, sett inn verdier, så beregn. Dette gjør det lettere å oppdage feil og å følge logikken.
📊 Tip 3 - Bruk tabeller: Normalfordelingstabeller, t-tabeller og χ²-tabeller er dine venner. Lær deg å lese dem riktig.
✅ Tip 4 - Konkluder alltid: Ikke stopp ved beregningen. Tolke resultatet. Hva betyr det i praksis?
📐 Tip 5 - Dobbeltsjekk enheter: Pass på enheter gjennomgår hele beregningen. Er det cm, kg, prosent?
🧮 Tip 6 - Avrunding: Hold flere desimaler under beregningen, rund av bare på slutten. Dette reduserer avrundingsfeil.

© 2026 Even Rygh

Øvingsoppgaver for PB2030 Statistikk

Sist oppdatert: 13.05.2026